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Context, Motivations, and Goals

VFHE is made and maintained by David William Silva (dsilva@algemetric.com).

David is a Senior Research Scientist at Algemetric.

Context

-

Motivations

-

Goals

-

FHE Scheme

For illustrative purposes only.
Plaintext space

$\mathbb{Z}_{q} = \{0,\ldots,q-1\}$

Ciphertext space

$\mathbb{Z}_{n} = \{0,\ldots,n-1\}$

Key Generation

Arbitrarily choose $p,q,r$

Encryption

Given $m \in \mathbb{Z}_{q}$ and the arbitrarily defined $p,q,r$,

uniformly choose $d \leftarrow \{1,\ldots,r-1\}$

and compute

$c = ((dq + m) + dpq) \bmod n$

Due to the uniform values of $d$, the encryption is probabilistic and for each message $m$ there are $r-1$ possible ciphertexts.

Decryption

$m = (c \bmod p) \bmod q$

Addition

$c_3 = c_1 + c_2 \bmod n$

Multiplication

$c_3 = c_1 c_2 \bmod n$

Chosen Configuration

p q r n
11 5 4 220

Fresh Ciphertexts Color Code

Fresh ciphertexts are identified with the same colors of their corresponding plaintexts.

0 1 2 3 4
0 1 2 3 4

Evaluated Ciphertexts Color Code

Evaluated ciphertexts are identified with the same colors of their corresponding plaintexts according to the table below:

0 1 2 3 4
0 1 2 3 4

Addition Table of Plaintext Space  

-

  0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3

Multiplication Table of Plaintext Space  

  0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 1 3
3 0 3 1 4 2
4 0 4 3 2 1

Addition Table of Ciphertext Space Fresh Ciphertexts Highlighted

Notice the linear pattern. There are 3 distinct lines representing 5 distinct fresh ciphertexts for each plaintext.

  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219
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Addition Table of Ciphertext Space Fresh and Evaluated Ciphertexts Highlighted

We have the same linear pattern maintained with the evaluated ciphertexts.

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Multiplication Table of Ciphertext Space Fresh Ciphertexts Highlighted

Now we see a non-linear pattern. Depending on how many plaintexts we have and the chosen encryption function, we can even identify the patterns as shapes.

  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219
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214 0 214 208 202 196 190 184 178 172 166 160 154 148 142 136 130 124 118 112 106 100 94 88 82 76 70 64 58 52 46 40 34 28 22 16 10 4 218 212 206 200 194 188 182 176 170 164 158 152 146 140 134 128 122 116 110 104 98 92 86 80 74 68 62 56 50 44 38 32 26 20 14 8 2 216 210 204 198 192 186 180 174 168 162 156 150 144 138 132 126 120 114 108 102 96 90 84 78 72 66 60 54 48 42 36 30 24 18 12 6 0 214 208 202 196 190 184 178 172 166 160 154 148 142 136 130 124 118 112 106 100 94 88 82 76 70 64 58 52 46 40 34 28 22 16 10 4 218 212 206 200 194 188 182 176 170 164 158 152 146 140 134 128 122 116 110 104 98 92 86 80 74 68 62 56 50 44 38 32 26 20 14 8 2 216 210 204 198 192 186 180 174 168 162 156 150 144 138 132 126 120 114 108 102 96 90 84 78 72 66 60 54 48 42 36 30 24 18 12 6
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219 0 219 218 217 216 215 214 213 212 211 210 209 208 207 206 205 204 203 202 201 200 199 198 197 196 195 194 193 192 191 190 189 188 187 186 185 184 183 182 181 180 179 178 177 176 175 174 173 172 171 170 169 168 167 166 165 164 163 162 161 160 159 158 157 156 155 154 153 152 151 150 149 148 147 146 145 144 143 142 141 140 139 138 137 136 135 134 133 132 131 130 129 128 127 126 125 124 123 122 121 120 119 118 117 116 115 114 113 112 111 110 109 108 107 106 105 104 103 102 101 100 99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Multiplication Table of Ciphertext Space Fresh and Evaluated Ciphertexts Highlighted

When we include the color code of the evaluated ciphertexts we can easily identify the subgroups associated with $\mathbb{Z}_{q}$ in $\mathbb{Z}_{n}$.

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Addition Table of Ciphertext Space All ciphertexts identified by the color of their associated plaintexts.

Here we see the same linear pattern of addition but now identifying each ciphertext with the colors of their associated plaintexts.

  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219
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Multiplication Table of Ciphertext Space All ciphertexts identified by the color of their associated plaintexts.

Here we identify the subgroups associated with $\mathbb{Z}_{q}$ in $\mathbb{Z}_{n}$ by the color of their associated plaintexts.

  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219
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Addition Table of Ciphertext Space Correctness

Encryption and homomorphic addition correctness (modulo $n$) is identified by the green color, and red otherwise.

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Multiplication Table of Ciphertext Space Correctness

Encryption and homomorphic correctness (modulo $n$) is identified by the green color, and red otherwise.

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